按邻接差值大小计数 k 进制单词的个数

最近，Spahn 和 Zeilberger 研究了计数满足 $\pi_{i+r}-\pi_i \neq s$（其中 $1\leq i\leq n-r$）的排列问题，其中 $r$ 和 $s$ 为固定参数。本文考虑类似问题在 $k$ 进制单词上的情形，其统计量的分布问题。对于 $k$ 进制单词，仅需考虑排列问题中的 $r=1$ 情形。我们计算了对于任意 $s$，该统计量在 $k$ 进制单词 $\rho=\rho_1\cdots\rho_n$（记录索引 $i$ 使得 $\rho_{i+1}-\rho_i=s$ 的个数）上的普通生成函数的显式公式。该结果可用于求表示有限集合划分（具有固定块数）且按受限增长函数顺序表示的类似公式。此外，若干来自 OEIS 的序列可作为某些规避特定差值邻接的 $k$ 进制单词类的计数器。也考虑跟踪索引 $i$ 使得绝对差值 $|a_{i+1}-a_i|$ 为固定数的情形，其对应的生成函数可以切比雪夫多项式表示。最后，我们为若干相关递推式和形式为 $a(a+s)$ 的邻接总数的公式找到了组合论证明。