有限自动机、概率方法与词和排列中模式出现次数的枚举

本文的主题是词与排列中模式出现次数的枚举。我们主要关注序列$f_r^v(k,n)$的渐近性质,即恰含给定模式$v$共$r$次的$n$长$k$元数组词的数量。此外,我们研究随机变量$X_n$(随机$n$长数组词中模式出现次数)的渐近行为。这两个主题通过恒等式$P(X_n=r) =$ $\frac{1}{k^n}f_r^v(k,n)$紧密关联。特别地,我们证明对任意$r\geq 0$,Stanley-Wilf序列$\bigl(f_r^v(k,n)\bigr)^{1/n}$收敛于一个与$r$无关的极限,并确定该极限值。随后我们得到$X_n$分布的若干极限定理,包括中心极限定理(CLT)、大偏差估计,以及$X_n$熵的精确增长率。进一步,我们引入弱避免的概念,并将其联系到词上某一类非乘积测度族,该类测度惩罚模式出现但不完全禁止。我们在小参数 regime 下分析此概率测度族,其分布可理解为均匀测度的扰动。最后,我们将词的一些结果(包括关于Stanley-Wilf序列极限等价者)推广至排列中的模式出现。