负二项分布NB$(k,r)$的概率质量函数、矩和阶乘矩

第一类负二项分布NB$(k,r)$是独立伯努利试验（成功参数$p\in(0,1)$）中具有$r$个长度$\ge k$的非重叠成功游程的概率分布。我们给出了其概率质量函数的一个新的、更简洁的表达式。我们还表明它可以用超几何函数简洁地表示。我们还给出了其矩和阶乘矩的新表达式（组合和），而不仅仅是已知的均值和方差。接下来，我们提出了一种替代的非组合观点，该观点不仅给出了非重叠成功游程的阶乘矩表达式，还给出了重叠量为$\ell$（其中$\ell\in[0,k-1]$）的游程的阶乘矩表达式。$\ell=k-1$的情况是第三类负二项分布NB$(k,r)$。这些结果也给出了具有成功游程之间最小间隔（在文中解释）的负二项分布NB$(k,r)$的解。2024年1月23日增补：概率质量函数和阶乘矩由概率生成函数导出。2024年1月26日增补：给出了第二类负二项分布NB$(k,r)$的替代表达式。