间隔分隔的 Type II 成功序列

我们研究了独立同分布的伯努利试验序列（成功参数为 $p$）中按照 Type II 二项分布（阶数为 $k$）分布的成功序列。然而，成功序列之间存在间隔 $g\ge1$（即一次失败后跟随 $g-1$ 个任意结果）。大多数文献仅讨论 $g=1$ 的情况。我们的主要结果包括概率质量函数（我们提供两种推导方法）以及最长成功序列的分布。我们还给出了先前文献中阶乘矩的更简洁表达式。我们给出了 $\textrm{NB}_{\rm II}(k,g,r)$——阶数为 $k$ 的 Type II 负二项分布中，成功序列数 $r$ 固定、试验数 $n$ 可变的均值、方差、概率质量函数和阶乘矩的结果。设 $L$ 表示最长成功序列的长度。我们给出了 $L$ 的分布的递推关系和生成函数，并推导出 $L$ 的均值、方差和阶乘矩的表达式。