Schmidt 博弈、分形与环面自同态的轨道

给定一个整数非奇异 $n\times n$ 矩阵 $M$ 和一个点 $y \in \mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$，考虑向量 $x\in \mathbb{R}^n$ 的集合 $\tilde E(M,y)$，使得 $y$ 不是序列 $\{M^k x \mod \mathbb{Z}^n: k\in\mathbb{N}\}$ 的极限点。S.G. Dani 在 1988 年证明，只要 $M$ 是半单的且 $y \in \mathbb{Q}^n/\mathbb{Z}^n$，集合 $\tilde E(M,y)$ 就具有完全的 Hausdorff 维数。在本文中，我们加强了这一结果，将其推广到任意 $y \in \mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ 和整数非奇异 $M$，实际上还将 $M$ 的幂序列替换为（不一定为整数的）$m\times n$ 矩阵的任意缺项序列。此外，我们证明了形如 $\tilde E(M,y)$ 的集合及其推广总是与 $\mathbb{R}^n$ 中“足够规则”的分形子集相交。作为应用，我们给出了 Einsiedler 和 Tseng 最近关于仿射形式组的不易逼近系统结果的一个替代证明。