Schmidt 博弈、分形与对任何基都不正规的数

给定 $b > 1$ 和 $y \in \mathbb{R}/\mathbb{Z}$，我们考虑 $x\in \mathbb{R}$ 的集合，使得 $y$ 不是序列 $\{b^n x \bmod 1: n\in\mathbb{N}\}$ 的极限点。已知这类集合具有满 Hausdorff 维数，并且在许多情况下已被证明具有更强的性质，即在 Schmidt 意义下是获胜的。在本文中，通过利用 Schmidt 博弈，我们证明了这些集合及其双 Lipschitz 像必须与“足够正则”的分形 $K\subset \mathbb{R}$（即，支撑满足某种衰减条件的测度 $\mu$）相交。此外，如果 $\mu$ 满足幂律（例如，若 $K$ 是中间三分 Cantor 集，则此条件成立），则交集的维数在 $K$ 中是满的。因此，中间三分 Cantor 集中对任何基都不正规的数的集合的维数为 $\log2/\log3$。