$(×m, ×n)$不变集的盒维数

我们研究在环面自同态 $(x, y) \mapsto (m x \text{ mod } 1, \, n y \text{ mod } 1)$（其中整数 $n>m \geq 2$）下不变集的盒维数。此类集合的基本例子是 Bedford-McMullen 地毯，更一般地，不变集由相关符号空间上的子移位建模。当该子移位是拓扑混合且 sofic 时，Kenyon 和 Peres 的结果已很好地刻画了此情形。此外，Kenyon 和 Peres 的其他工作表明 Hausdorff 维数通常由变分原理给出。因此，我们的工作聚焦于底层移位是拓扑非混合且非 sofic 时的盒维数。我们建立了用熵表示的、对所有子移位都成立的直接上下界，并证明该上界对于其熵可由可自由拼接的词实现的编码子移位（包括许多著名族如 $\beta$-移位、(广义) $S$-gap 移位和传递 sofic 移位）是正确的。我们还给出了传递编码子移位的例子，其中一般上界失效且盒维数实际上由一般下界给出。在非传递 sofic 情形下，我们给出了盒维数的一个公式，该公式通常介于一般下界和上界之间。