图不变量与实环面流形的 Betti 数

对于图 $G$，图立方体和图结合体 $\triangle_G$ 是允许（实）环面流形的简单凸多胞体。在本文中，我们引入一种称为 $b$-数的图不变量，并证明 $b$-数可计算对应于图立方体的实环面流形 $X^\mathbb{R}(\square_G)$ 的 Betti 数。$b$-数是由 S. Choi 和第二作者引入的、计算对应于图结合体的实环面流形 $X^\mathbb{R}(\triangle_G)$ 的 Betti 数的 $a$-数概念的对偶概念。我们还从环面拓扑的视角研究了 $a$-数与 $b$-数之间的各种关系。有趣的是，对于森林 $G$ 及其线图 $L(G)$，实环面流形 $X^\mathbb{R}(\triangle_G)$ 与 $X^\mathbb{R}(\square_{L(G)})$ 具有相同的 Betti 数。