具有 m-DCI 性质的广义四元数群

有限群 $G$ 关于其子集 $S$ 的 Cayley 有向图 Cay(G,S) 被称为 CI-有向图，如果对每个同构于 Cay(G,S) 的 Cayley 有向图 Cay(G,T)，存在 $G$ 的一个自同构 $\sigma$ 使得 $S^\sigma=T$。有限群 $G$ 若对其某个正整数 $m$ 的所有 $m$ 价 Cayley 有向图均为 CI-有向图，则称其具有 $m$-DCI 性质；若对一切 $1\leq m\leq |G|$ 均有 $m$-DCI 性质，则称其为 DCI-群。设 $\mathrm{Q}_{4n}$ 为阶 $4n$ 的广义四元数群（$n\geq 3$ 为整数），且 $\mathrm{Q}_{4n}$ 对某个 $1 \leq m\leq 2n-1$ 具有 $m$-DCI 性质。本文证明 $n$ 为奇数，且对任一素数 $p\leq m-1$，$n$ 不被 $p^2$ 整除。进一步，若 $n\geq 3$ 为某素数 $p$ 的幂，则 $\mathrm{Q}_{4n}$ 具有 $m$-DCI 性质当且仅当 $p$ 为奇数，且要么 $n=p$ 要么 $1\leq m\leq p$。