广义四元数群双-Cayley 图的同构

设 $G$ 为有限群，$S$ 为 $G$ 的子集。双-Cayley 图 $\mathrm{BCay}(G,S)$ 是顶点集合为 $G\times \{0,1\}$，边集合为 $\{\{(x,0),(sx,1)\}\mid x\in G,s\in S\}$ 的图。如果对于每一个 $T\subseteq G$，同构 $\mathrm{BCay}(G,S)\cong \mathrm{BCay}(G,T)$ 蕴含 $T=gS^\alpha$ 对于某个 $g\in G$ 和 $\alpha\in \mathrm{Aut}(G)$，则双-Cayley 图 $\mathrm{BCay}(G,S)$ 称为 BCI 图。我们说群 $G$ 是 $m$-BCI 群，如果 $G$ 的所有 valency 最多为 $m$ 的双-Cayley 图都是 BCI 图。本文我们证明对于 $m\in\{2,3\}$，阶为 $4n$ 的广义四元数群（$n\geq 2$）是 $m$-BCI 群当且仅当它是 $m$-DCI 群当且仅当它是 $m$-CI 群当且仅当 $n$ 为奇数或 $n=2$。