特征和不变但非 Cayley 同构的非阿贝尔有限群

设 $G$ 为一个群，$S$ 为 $G\setminus \{1\}$ 的一个逆封闭子集。Cayley 图 $Cay(G,S)$ 是指以 $G$ 的元素集合为顶点集，且两顶点 $x$ 和 $y$ 在 $x^{-1}y\in S$ 时相邻的图。若对于 $G\setminus \{1\}$ 的某些逆封闭子集 $S$ 和 $T$，$Cay(G,S)\cong Cay(G,T)$ 蕴含存在 $G$ 的某个自同构 $\alpha$ 使得 $S^\alpha=T$，则称群 $G$ 为 CI-群。若对于 $G\setminus \{1\}$ 的某些逆封闭子集 $S$ 和 $T$，$Cay(G,S)\cong Cay(G,T)$ 蕴含对所有正整数 $\nu$ 均有 $M_\nu^S=M_\nu^T$，则称有限群 $G$ 为 BI-群，其中 $M_\nu^S$ 表示集合 $\big\{\sum_{s\in S}\chi(s) | \chi(1)=\nu, \chi \text{ 为 } G \text{ 的复不可约特征标} \big\}$。László Babai [\textit{J. Combin. Theory Ser. B}, {\bf 27} (1979) 180-189] 曾提出是否每个有限群都是 BI-群；文献 [\textit{Comm. Algebra}, {\bf 43} (12) (2015) 5159-5167] 给出了若干有限非 BI-群的实例。后者指出，每个有限 CI-群都是 BI-群，且所有阿贝尔有限群都是 BI-群。然而，已知存在有限的阿贝尔非 CI-群。存在一个不是 CI-群的有限非阿贝尔 BI-群是我们在此研究的主要问题。我们找到了两个阶分别为 $20$ 和 $42$ 的非阿贝尔 BI-群，它们不是 CI-群。我们还列出了所有阶不超过 $30$ 的 BI-群。