关于 $m$-Cayley 有向图的核同构与有限 $2$PCI 群

有向图的同构问题是图论中的基本问题。本文考虑 $m$-Cayley 有向图的同构问题，这是 Cayley 有向图的推广。设 $m$ 为正整数。若一个有向图容许群 $G$ 的自同构群在半正则地作用于顶点且恰好有 $m$ 个轨道，则称其为 $G$ 的 $m$-Cayley 有向图。在我们之前的论文中，我们发展了 $m$-Cayley 同构的理论，并对每个 $m\geq 2$ 分类了有限 $m$CI 群，对每个 $m\geq 4$ 分类了有限 $m$PCI 群。下一步自然是对 $m=2$ 或 $3$ 的有限 $m$PCI 群进行分类。注意 BCI 群是 $2$PCI 群的重要子类，由 Xu 等人于 2008 年提出。尽管对 BCI 群的研究已付出大量努力，但有限 BCI 群的分类问题仍然广泛开放。本文证明每个有限 $2$PCI 群是可解的，其 Sylow 3-子群同构于 $Z_3$、$Z_3\times Z_3$ 或 $Z_9$，且 $p\neq 3$ 的 Sylow $p$-子群要么是初等阿贝尔群，要么同构于 $Z_4$ 或 $Q_8$。我们还引入了 $m$-Cayley 有向图的核同构，并建立了研究此类同构的有用理论。利用核同构的结果与 $2$PCI 群的结果，我们给出了有限 BCI 群的恰当描述，特别是，我们获得了有限非阿贝尔 BCI 群的完整分类。