$\mathbb Z_3^8$ 不是 CI-群

若对每一个同构图 Cay$(G;T)$，均存在 $G$ 的群自同构 $\alpha$ 使得 $S^\alpha=T$，则 Cayley 图 Cay$(G;S)$ 具有 CI（Cayley 同构）性质。有向图上的 DCI（有向 Cayley 同构）性质类似定义。若 $G$ 上每个 Cayley 图都具有 CI 性质，则称群 $G$ 为 CI-群；若 $G$ 上每个 Cayley 有向图都具有 DCI 性质，则称其为 DCI-群。由于图是有向图的特例，这意味着每个 DCI-群都是 CI-群，且若一群不是 CI-群则也不是 DCI-群，但存在众所周知的既是 CI-群而非 DCI-群的群例子。2009 年，Spiga 通过给出一个不具有 DCI 性质的有向图，证明了 $\mathbb Z_3^8$ 不是 DCI-群。他还证明了 $\mathbb Z_3^5$ 是 DCI-群（因此也是 CI-群）。直到最近，是否存在非 CI-群的初等 Abel $3$-群这一问题仍悬而未决。在最近与 Dave Witte Morris 的预印本中，我们证明了 $\mathbb Z_3^{10}$ 不是 CI-群。本文中我们表明，经细微修改，Spiga 所描述的 $3^8$ 阶底层无向图不具有 CI 性质，故 $\mathbb Z_3^8$ 不是 CI-群。