循环 $m$-DCI 群与 $m$-CI 群

基于 Li (European J. Combin. 1997) 和 Dobson (Discrete Math. 2008) 的早期工作，本文完成了循环 $m$-DCI 群和 $m$-CI 群的分类。对于给定的正整数 $m$（满足 $m \ge 3$），我们证明群 $\mathbb{Z}_n$ 为 $m$-DCI 群当且仅当 $n$ 不能被 $8$ 或任何小于 $m$ 的奇素数的平方整除。进一步地，若 $m \ge 6$，则证明 $\mathbb{Z}_n$ 为 $m$-CI 群当且仅当 $n \in \{ 8, 9, 18 \}$，或 $n \notin \{ 8, 9, 18 \}$ 且 $n$ 不能被 $8$ 或任何小于 $\frac{m - 1}{2}$ 的奇素数的平方整除。