高对比度介质中的第一 Bloch 特征值

本文研究了具有高对比度 $\epsilon Y$-周期电导率的非均匀介质中第一 Bloch 特征值的渐近行为。当电导率在 $L^1$ 中有界，且由电导率加权的 Poincar\'e-Wirtinger 常数相对于 $\epsilon^{-2}$ 非常小时，第一 Bloch 特征值在 $\epsilon\to 0$ 时收敛到一个极限，该极限保留了关于 Bloch 参数的二阶展开。在二维情形下，在相同假设下，极限的展开可以改进至四阶。相反，在三维情形下，纤维增强介质结合 $L^1$-无界电导率导致当 Bloch 参数趋于零但仍不垂直于纤维方向时，极限第一 Bloch 特征值出现不连续。因此，微观结构的高对比度电导率引起了一种反常效应，因为对于给定的低对比度电导率，已知第一 Bloch 特征值在零附近关于 Bloch 参数是解析的。