型问题、第一特征值与 Hardy 不等式

本文研究了完备 Riemann 流形 $M$ 上“球” $B_r:=\{\rho<r\}$ 的第一（Dirichlet）特征值 $\lambda_1(B_r)$ 在 $r\rightarrow +\infty$ 时的型问题与渐近行为之间的关系，其中 $\rho$ 是在 $M$ 上几乎处处满足 $|\nabla\rho|\leq1$ 的 Lipschitz 连续穷竭函数。我们获得了若干精确结果。首先，如果对所有 $r>r_0$ 有 \n$$r^2 \lambda_1(B_r)\ge \gamma>0,$$\n我们得到体积增长的精确估计：$|B_r|\ge cr^{\mu(\gamma)}$。此外，当 $\gamma>j_0^2\approx 5.784$ 时（其中 $j_0$ 表示 Bessel 函数 $J_0$ 的第一个正零点），$M$ 是双曲的且具有 Hardy 型不等式。在 $r_0=0$ 的情况下，成立精确的 Hardy 型不等式。若假设 $\Delta\rho^2\geq2\mu(\gamma)>0$，则这些谱条件得到满足。特别地，当 $\inf_M\Delta\rho^2>4$ 时，$M$ 是双曲的且得到精确的 Hardy 型不等式。还研究了有限体积情形的相关结果。