重尾随机电导模型中主Dirichlet特征向量的局部化

我们研究了在带零Dirichlet条件的 $\mathbb{Z}^d$ ($d\geq 2$) 大区域中随机电导拉普拉斯算子的主特征向量和特征值的渐近行为。我们假设电导 $w$ 是独立的正数随机变量，满足零附近的某些正则性假设。如果 $\gamma=\sup \{ q\geq 0\colon \mathbb{E} [w^{-q}]<\infty \}<1/4$，则我们证明对几乎每个环境，主Dirichlet特征向量渐近集中于单个格点，且相应的特征值呈次扩散标度。阈值 $\gamma_{\rm c} = 1/4$ 是尖锐的。事实上，其他近期结果暗示对于 $\gamma>1/4$，Dirichlet谱的顶部均匀化。我们的证明基于局部速度测度的空间极值分析、Borel-Cantelli论证、Rayleigh-Ritz公式、渗流理论结果以及路径论证。