双缩放SYK模型中有限 $N$ Bulk Hilbert空间的ETH矩阵模型

我们将chord number在严格大 $N$ 双缩放Sachdev-Ye-Kitaev(DSSYK)模型中的概念推广到相应的有限 $N$ ETH矩阵模型中。严格大 $N$ DSSYK模型中的chord number已知对应于重力偶像对偶中Einstein-Rosen桥的离散长度，在弱耦合下还原为JT引力中的renormalized测地长度。在有限 $N$ 时，这些chord number状态形成非pertubative希尔伯特空间的过完备基，因为内积结构因Cayley-Hamilton定理而显著修改：存在无限多个null状态。在本文中，通过考虑“重力可观测量的EFT”或一种“非等距编码”版本，我们构造了在有限 $N$下的chord number算子族。虽然构造的chord number算子取决于参考chord number状态，但它实现了近似的 $q$ 变形振荡子代数，并再现了参考状态周围的半经典bulk几何。作为一个特殊案例，我们将展示，当选择chord number为零的状态作为参考时，chord number算子精确匹配Krylov状态复杂度，导致在晚期时间出现“ramp-斜率-plateau”行为，意味着“灰洞”的形成。