Euler 问题在 $\mathbb{H}^2$ 与 $\mathbb{S}^2$ 中的推广

本文将关于欧拉平面 $\mathbb{R}^2$ 中以点 $N$ 为原点的静止曲线概念推广至双曲面 $\mathbb{H}^2$ 与球面 $\mathbb{S}^2$。我们依据曲线的曲率与到点 $N$ 的距离，对该能量的临界点进行表征。在 $\mathbb{H}^2$ 中，我们证明唯一的闭合静止曲线为以 $N$ 为中心的圆。在 $\mathbb{S}^2$ 中，我们根据曲线所在的半球估算闭合曲线的 $\alpha$ 值。此外，我们求出描述 $\mathbb{H}^2$ 与 $\mathbb{S}^2$ 中静止曲线参数化的常微分方程的首积分。最后，我们考虑连接两个与 $N$ 共线的点的曲线的能量最小化问题，特别是求解测地线的情况。