O'Hara 纽结能量的驻点

在本文中，我们研究了 O'Hara 引入的纽结能量 $E^\alpha$ 在 $\alpha \in (2,3)$ 范围内的驻点的正则性。第一步，我们证明了 $E^\alpha$ 在属于 $H^{(\alpha +1)/2,2}$ 的所有正则嵌入闭曲线集合上是 $C^1$ 的，并计算了其导数。随后，我们利用欧拉 - 拉格朗日方程的结构，研究了 $E^\alpha$ 加上长度的正倍数后的驻点的正则性。我们证明了有限能量的驻点属于 $C^\infty$ 类——因此，特别是 $E^\alpha$ 在固定长度曲线中的所局部极小值都是光滑的。