关于具有等角弦性质的曲线与多边形

设 $C$ 为球面 $\mathbb{S}^{2}$、双曲平面 $\mathbb{H}^{2}$ 或欧几里得平面 $\mathbb{E}^{2}$ 上的光滑凸曲线，并具有以下性质：存在 $\alpha$ 及 $C$ 的参数化 $x(t), y(t)$，使得对于每个 $t$，连接 $x(t)$ 与 $y(t)$ 的弦与 $C$ 在两端的夹角均为 $\alpha$。假设 $C$ 不是圆，E. Gutkin 完全刻画了欧几里得情形下此类曲线存在的角度 $\alpha$。我们在其他两种常曲率几何的背景下研究该问题的无穷小版本，特别是完全刻画了存在通过此类曲线（具有相应角度 $\alpha$）对圆进行非平凡无穷小变形的角度 $\alpha$。我们还考虑了该性质在欧几里得多边形中的离散版本，并在此情况下给出了所有非平凡解的完整描述。