Epstein曲面、$W$-体积与Osgood-Stowe微分

在一篇开创性论文中，Epstein引入了现在称为Epstein曲面的理论，该理论构造了与$\hat{\mathbb{C}}$上一个区域上的共形度量相关联的$\mathbb{H}^3$中的曲面。最近，Krasnov-Schlenker利用这些曲面定义了与凸余紧双曲3-流形相关的$W$-体积和重整化体积。本文分两部分研究Epstein曲面、$W$-体积和重整化体积。在第一部分中，我们利用Osgood-Stowe微分（Schwarzian导数的一种推广）发展了Epstein曲面的另一种构造。Krasnov-Schlenker表明，双曲空间中曲面的度量和形状算子通过双曲Gauss映射自然对偶于射影结构上的共形度量和形状算子。我们证明该射影形状算子可以从Osgood-Stowe微分导出。这种方法使我们能够对Epstein曲面、$W$-体积和重整化体积进行全面且自洽的阐述。在第二部分中，我们利用第一部分发展的理论证明若干新结果，包括Epstein单叶性判据的推广、用Osgood-Stowe微分表示的$W$-体积变分公式，以及利用$W$-体积将凸核的弯曲分层长度与共形边界上相关单叶映射的Schwarzian导数范数联系起来。