双曲三维空间中的极限球包络与魏因加滕曲面
微分几何
2025-07-01 v2 偏微分方程分析
复变函数
摘要
我们推导了表示为极限球包络的双曲空间中曲面的基本微分几何公式。同时研究了平行超曲面的对偶概念。该表示方法被应用于证明 H^3 中魏因加滕曲面的存在性与正则性定理，这些曲面满足 (1-a)K = a(2-H)，其中 a < 0，并且在无穷远处具有指定的边界曲线。这些曲面被证明与 S^2 中区域到单位圆盘的共形映射密切相关，并为与此类映射相关的一些共形不变量提供了黎曼几何解释。本文最初写于 1984 年，当时我尚未学会使用 TeX，由普林斯顿大学数学系的一位秘书打字完成。这或多或少是我博士论文之后的第一项原创工作。由于某些原因，我未能及时发表这篇论文。本文的结果和视角已被证明对许多研究者有用，其中一些人请我将文章转换为 TeX 格式并发布到 arXiv 上。我一直在认真考虑此事，此时 Martin Bridgeman 给我发来了我原始文章的 TeX 转录稿。我对他为这个项目付出的努力深表感谢。论文现在大致按照现代 AMS 文章风格排版，但除了增加大量标点符号、进行少量更正和一些微小的文体修改外，内容基本保持了原样。关于双曲几何'最新进展'的评述显然已经过时，因为这一仍然丰富的学科在许多方面都取得了巨大进展。
引用
@article{arxiv.2401.12115,
title = {Envelopes of Horospheres and Weingarten Surfaces in Hyperbolic 3-Space},
author = {Charles L. Epstein},
journal= {arXiv preprint arXiv:2401.12115},
year = {2025}
}
备注
I am enormously grateful to Martin and the community of mathematicians who have let me know, over the years, that this work was of some use to them