含不确定性 Burgers 方程的动态低秩近似
数值分析
2021-05-11 v1 数值分析
摘要
量化双曲方程中的不确定性带来若干挑战。首先，解会形成激波，导致解的数值近似出现振荡行为。其次，有效离散化解所需的未知量数目随不确定性维数呈指数增长，产生高昂计算成本与巨大内存需求。通过适当的基函数对解进行高效表示可应对这些困难。当不确定性的分布已知时，广义多项式混沌（gPC）多项式允许此类高效表示。这些分布通常仅对输入不确定性（如初始条件）可用，因此该 ansatz 的效率在运行期间可能丧失。本文中，我们利用动态低秩近似（DLRA）在较低维流形上获得内存高效的解近似。我们研究矩阵投影分裂积分器与非传统积分器在动态低秩近似中的使用，分别推导空间与不确定性基函数各自的时间演化方程。这保证了即使底层概率分布随时间变化，解也能被高效近似。此外，实现了缓解伪振荡出现的滤波器，并引入强制边界条件的策略。所提方法针对具有由二维随机向量表示的不确定初始值的 Burgers 方程进行分析。数值结果显示内存需求降低，且原系统的重要特征被良好捕捉。
引用
@article{arxiv.2105.04358,
title = {Dynamical low-rank approximation for Burgers' equation with uncertainty},
author = {Jonas Kusch and Gianluca Ceruti and Lukas Einkemmer and Martin Frank},
journal= {arXiv preprint arXiv:2105.04358},
year = {2021}
}