从低秩收缩映射到动态低秩近似及其逆
数值分析
2024-03-11 v2 数值分析
摘要
在求解约束于光滑流形的优化问题的算法中，收缩映射是确保迭代点保持在流形上的成熟工具。最近，已证明收缩映射对于流形上的其他计算任务（包括插值任务）也是有用的概念。本工作中，我们考虑将收缩映射应用于固定秩矩阵流形上微分方程的数值积分。这与动态低秩近似（DLRA）技术密切相关。事实上，任何收缩映射都导出一种数值积分器，反之，某些 DLRA 技术与收缩映射有直接关联。作为后者的例子，我们引入一种称为 KLS 收缩映射的新收缩映射，它源自所谓的 DLRA 非传统积分器。我们还说明如何利用收缩映射恢复已知的 DLRA 技术并设计新技术。特别地，本工作引入两种适用于一般流形上微分方程的新数值积分格式：加速前向欧拉（AFE）方法与投影 Ralston–Hermite（PRH）方法。两种方法均基于收缩映射，将其作为流形上曲线逼近的工具。证明这两种方法的局部截断误差为三阶。在经典 DLRA 算例上的数值实验凸显了这些新方法的优点与不足。
引用
@article{arxiv.2309.06125,
title = {From low-rank retractions to dynamical low-rank approximation and back},
author = {Axel Séguin and Gianluca Ceruti and Daniel Kressner},
journal= {arXiv preprint arXiv:2309.06125},
year = {2024}
}