矩阵微分方程的鲁棒隐式自适应低秩时间步进方法
数值分析
2025-01-27 v4 数值分析
摘要
在这项工作中，我们为时间依赖的矩阵微分方程开发了隐式秩自适应格式。动态低秩近似 (DLRA) 是一种基于 Dirac-Frenkel 时间依赖变分原理来捕捉动态低秩结构的知名技术。近年来，由于其广泛的适用性，它引起了广泛关注。我们的格式受到用于 DLRA 的非传统鲁棒积分器（即所谓的 BUG 积分器）秩自适应版本中所采用的三步程序的启发。首先，进行预测（基更新）步骤，计算下一时间层的近似列空间和行空间。其次，调用 Galerkin 演化步骤，对小型核心矩阵进行基础隐式求解。最后，根据预设的误差阈值进行截断。由于 DLRA 是在低秩流形的切空间上投影演化微分方程，BUG 积分器的误差估计包含切投影（建模）误差，该误差不易通过网格细化来控制。这可能导致包含交叉项的方程出现收敛问题。为了解决这个问题，我们提出了一种简单的修改，即在预测步骤中将显式步进截断方法得到的行、列空间与 BUG 空间合并。此外，我们提出了一种自适应策略，即仅当通过显式步进截断方法从预测空间获得的解的残差过大时，才计算 BUG 空间。我们在一定假设下证明了格式的稳定性并估计了局部截断误差。我们通过各向异性扩散、刚体旋转以及两者的组合等多个测试对格式进行了基准测试，展示了其鲁棒的收敛性质。
引用
@article{arxiv.2402.05347,
title = {Robust Implicit Adaptive Low Rank Time-Stepping Methods for Matrix Differential Equations},
author = {Daniel Appelö and Yingda Cheng},
journal= {arXiv preprint arXiv:2402.05347},
year = {2025}
}