用于对流扩散与Fokker-Planck模型的降维增广隐式低秩（RAIL）积分器
数值分析
2024-09-12 v2 数值分析
摘要
本文通过研究时间依赖偏微分方程（PDEs）低秩解的两个主要研究方向——动态低秩（DLR）与步进截断（SAT）张量方法，引入了一种称为降维增广隐式低秩（RAIL）方法的新计算途径。RAIL方法与SAT方法的发展旨在提升传统全秩隐式求解器从时间依赖PDE方法-of-lines离散的效率，同时保持精度与稳定性。我们采用谱方法进行空间离散，采用对角隐式Runge-Kutta（DIRK）和隐式-显式（IMEX）RK方法进行时间离散。效率提升通过利用奇异值分解（SVD）考察各RK阶段解内的低秩结构实现。特别地，我们开发了降维增广过程以预测基函数来构造投影子空间。该过程通过尽可能多地纳入先前RK阶段与预测的基，并借助SVD截断优化基表示，来平衡算法精度与效率。如此，人们可以逐维形式构造用于更新基函数的隐式格式，其精神类似于DLR框架中的K-L步。我们还在每个RK阶段末施加全局质量守恒后处理步骤。我们通过对流扩散问题与一Fokker-Planck模型的数值模拟验证RAIL方法，展示其高效处理时间依赖PDE同时保持全局质量守恒的能力。我们的方法推广并桥接了DLR与SAT途径，为隐式处理高效且准确地求解时间依赖PDE提供了综合框架。
引用
@article{arxiv.2311.15143,
title = {Reduced Augmentation Implicit Low-rank (RAIL) integrators for advection-diffusion and Fokker-Planck models},
author = {Joseph Nakao and Jing-Mei Qiu and Lukas Einkemmer},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.15143},
year = {2024}
}