线性输运与非线性Vlasov-Poisson系统的半拉格朗日自适应秩(SLAR)方法

在过去几十年中，动力学方程的高阶半拉格朗日方法取得了快速发展。本文提出一种基于有限差分框架的半拉格朗日自适应秩 (SLAR) 积分器，用于线性输运和非线性Vlasov-Poisson系统，无需分离变量。该方法利用半拉格朗日方法实现更大的时间步长，同时利用解的低秩结构。这通过矩阵的交叉近似（也称为CUR或伪骨架近似）实现，其中选择特定策略的代表性列和行。为维持数值稳定性并确保局部质量守恒，我们在交叉近似更新解后应用奇异值截断和质量保守投影。该方法的计算复杂度随网格大小 $N$ 的线性增长，而与传统全秩方法相比，每个时间步的复杂度为 $\mathcal{O}(N^2)$。该算法通过 Runge-Kutta 指数积分器扩展到处理非线性Vlasov-Poisson系统。此外，我们隐式演化宏观守恒定律中的电荷密度，从而实现与半拉格朗日求解器一致的大时间步长。我们还对适应秩解进行质量保守校正，以确保其保留宏观电荷密度守恒。为验证该方法的效率和有效性，我们对线性输运和非线性Vlasov-Poisson系统进行了一系列基准测试。该提议算法将有潜力克服超2D高维问题的维度诅咒，这是我们的未来工作方向。