一种用于Vlasov动力学的守恒低秩张量方法

在本文中，我们提出一种守恒低秩张量方法来近似非线性Vlasov解。该低秩方法基于我们早期的工作（arxiv: 2106.08834）。它利用了Vlasov方程中微分算子是张量友好的这一事实，基于此我们提出通过从微分方程离散化中添加新基函数，以及通过奇异值分解（SVD）型截断过程移除基函数，来动态且自适应地构建低秩解基。对于离散化，我们采用高阶有限差分空间离散化以及二阶强稳定保持多步时间离散化。虽然SVD截断会消除高维Vlasov解表示中的冗余，但会破坏相应全守恒格式的守恒性质。在本文中，我们发展了具有质量、动量和动能密度守恒的守恒截断过程。该守恒截断是通过在速度空间中以加权内积关联到由$1$、$v$和$v^2$张成的子空间上的正交投影实现的。随后算法对剩余部分执行加权SVD截断，包括缩放、标准SVD截断及缩放回原尺度。该算法进一步在高维中借助高维Vlasov解的层次Tucker张量分解发展，克服了维数灾难。我们进行了大量非线性Vlasov算例以展示所提守恒低秩方法的有效性与守恒性。并与非守恒低秩张量方法在质量、动量和能量守恒历程上进行了比较。