稳定秩自适应动态正交龙格-库塔格式
数值分析
2023-08-08 v2 计算工程、金融与科学
数值分析
动力系统
统计计算
摘要
我们开发了两组新的稳定、秩自适应的动态正交龙格-库塔（DORK）格式，以捕捉非线性低秩流形的高阶曲率。DORK格式以大幅降低的代价渐近逼近截断奇异值分解，同时利用新推导的收缩映射保持模态连续性。我们证明了可获得任意高阶最优微扰收缩映射，并证明这些新收缩映射是稳定的。此外，我们证明了重复应用收缩映射可在低秩流形上产生梯度下降算法，在逼近低秩矩阵时超线性收敛。当逼近较高秩矩阵时，迭代线性收敛至最佳低秩近似。然后我们开发了一种对过逼近鲁棒的秩自适应收缩映射。基于这些收缩映射，我们推导了两种秩自适应积分格式，它们在每个时间步内动态更新系统动力学所投影的子空间：稳定最优动态正交龙格-库塔（so-DORK）与梯度下降动态正交龙格-库塔（gd-DORK）格式。这些积分格式在一个病态矩阵微分方程、一个对流扩散偏微分方程以及一个非线性随机反应扩散偏微分方程上进行了数值评估与比较。结果显示新的稳定最优与梯度下降积分器的误差累积率降低。此外，我们发现秩自适应可在保持计算效率的同时给出高精度解。
引用
@article{arxiv.2211.07852,
title = {Stable rank-adaptive Dynamically Orthogonal Runge-Kutta schemes},
author = {Aaron Charous and Pierre F. J. Lermusiaux},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.07852},
year = {2023}
}
备注
29 pages, 8 figures