平移曲面与平面共振集的丢番图逼近
动力系统
2023-05-26 v3 数论
摘要
我们考虑平移曲面层中的 Teichmüller 测地线。我们证明了生成在层的某个紧致部分内有界的测地线的参数集的 Hausdorff 维数的上下界。接着我们计算了那些生成以规定速率趋于无穷远的测地线的参数的维数。最后我们计算了有理台球中具有快速回归的方向集合的维数，这对应于 Jarník 和 Besicovich 经典结果的动力学版本。我们的主要工具是给定平移曲面产生的平面共振集，即其鞍点连接或闭测地线的方向的可数集，按长度过滤。在抽象设定中，假设一般平面共振集的特定度量性质，我们证明了能被共振集中的方向很好逼近的方向集合的 Hausdorff 测度的二分性，并给出了坏逼近方向集合维数的估计。然后我们证明由平移曲面产生的共振集满足所需的度量性质。
引用
@article{arxiv.1502.05007,
title = {Diophantine approximations for translation surfaces and planar resonant sets},
author = {Luca Marchese and Rodrigo Treviño and Steffen Weil},
journal= {arXiv preprint arXiv:1502.05007},
year = {2023}
}
备注
Added appendix B, which provides a proof for a statement in Remark 1.10 of the previous version. Minor changes in the rest of the paper. 53 pages