临界值处伙伴模型的扩散极限

伙伴模型是一种在具有随机伙伴关系形成与解散、且疾病传播仅在伙伴关系内部发生的种群中的 SIS 流行病模型。Foxall、Edwards 和 van den Driessche 求得了临界值并研究了次临界与超临界情形。最近 Foxall 证明了（若有足够多的初始感染者 $I_0$），临界模型中的灭绝时间阶为 $\sqrt{N}$。本文通过证明 $i_N(t)=I(\sqrt{N}t)/\sqrt{N}$ 收敛于一个极限扩散过程来改进该结果。我们通过证明在短时间内，该四维过程坍缩至二维来实现这一点：$SI$ 与 $II$ 伙伴关系的数量是感染态单身者数量的常数倍。另一个变量，即单身者总数，在原始时间尺度上如同幅值为 $\sqrt{N}$ 的 Ornstein-Uhlenbeck 过程围绕其平衡态波动，并在 $i_N(t)$ 的极限定理中被平均掉。作为证明的副产品，我们证明了若 $\tau_N$ 为 $i_N(t)$（在 $\sqrt{N}$ 时间尺度上）的灭绝时间，则 $\tau_N$ 存在极限。