高维脉冲反应扩散模型研究

假设 $N_m(x)$ 表示第 $m$ 年繁殖季开始时点 $x$ 处种群密度。我们研究如下对任意 $m\in \mathbb Z^+$ 的脉冲反应扩散模型 \begin{eqnarray*}\label{} \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{lcl} u^{(m)}_t = div(A\nabla u^{(m)}-a u^{(m)}) + f(u^{(m)}) \quad \text{for} \ \ (x,t)\in\Omega\times (0,1] u^{(m)}(x,0)=g(N_m(x)) \quad \text{for} \ \ x\in \Omega N_{m+1}(x):=u^{(m)}(x,1) \quad \text{for} \ \ x\in \Omega \end{array}\right. \end{eqnarray*} 其中函数 $f,g$，漂移 $a$ 与扩散矩阵 $A$ 以及 $\Omega\subset \mathbb R^n$。该模型的研究需要同时分析微分方程与递推关系。当边界条件不利时，我们给出临界域结果，展示物种的灭绝与存续如何依赖于域的大小与几何形状而产生。我们证明存在一{\it 极端体积大小}，使得若 $|\Omega|$ 低于此大小，则无论域的几何形状如何物种均趋于灭绝。为构造此类极端体积大小与临界域大小，我们应用施瓦茨对称重排论证、经典的 Rayleigh-Faber-Krahn 不等式以及一致椭圆算子的谱。临界域结果为该模型的长期动力学提供了定性见解。最后，我们将主要结果应用于某些生物反应扩散模型，涉及海洋保护区、陆地保护区、害虫爆发以及受气候变化影响的种群。