基于 $\mathcal{M}$-子空间的弯曲函数设计与分析

在本文中，我们首次对 Maiorana-McFarland 类 $\mathcal{MM}$ 中 $\mathbb{F}_2^{n}$ 上的弯曲函数 $f$ 关于其 $\mathcal{M}$-子空间（即 $f$ 的二阶导数为零的向量子空间）的起源与基数进行系统分析。通过对 $\mathbb{F}_2^{n/2}$ 的置换 $\pi$ 施加限制，我们明确了使得 Maiorana-McFarland 弯曲函数 $f(x,y)=x\cdot \pi(y) + h(y)$ 具有唯一维数为 $n/2$ 的 $\mathcal{M}$-子空间的条件。另一方面，我们表明具有线性结构的置换 $\pi$ 会产生不具有该性质的 Maiorana-McFarland 弯曲函数。通过这种方式，我们促进了 Maiorana-McFarland 弯曲函数的分类，因为 $\mathcal{M}$-子空间的数量在等价下是不变的。此外，我们给出了几种指定置换 $\pi$ 使得 $f\in\mathcal{MM}$ 具有唯一 $\mathcal{M}$-子空间的通用方法。最值得注意的是，利用关于 $\mathcal{M}$-子空间的知识，我们表明通过使用四个适当选择的 Maiorana-McFarland 弯曲函数的弯曲 4-级联，可以以通用方式生成任意偶数 $n\geq 8$ 时位于完备 Maiorana-McFarland 类 $\mathcal{MM}^\#$ 之外的 $\mathbb{F}_2^{n}$ 上的弯曲函数。引人注目的是，借助我们的构造方法，可以获得源自两个主要类（部分扩散类 $\mathcal{PS}$ 和 $\mathcal{MM}$）之外的 $\mathbb{F}_2^8$ 上不等价的弯曲函数。通过这种方式，我们增进了对八变量弯曲函数起源的理解，因为仅有约 $2^{76}$ 大小的很小一部分源自 $\mathcal{PS}$ 和 $\mathcal{MM}$，而 $\mathbb{F}_2^8$ 上弯曲函数的总数约为 $2^{106}$。