关于 Maiorana-McFarland 类的扩展

本文研究了在 $m = 2n$ 个变量下，相对于扩展仿射等价性和 bent 函数构造 $f \oplus \mathrm{Ind}_{U}$ 的 Maiorana-McFarland 类 $\mathcal{M}_{m}$ 的闭包 $\mathcal{M}_{m}^{\#}$ 和扩展 $\widehat{\mathcal{M}}_{m}$，其中 $U$ 是 $\mathbb{F}_{2}^{m}$ 中维度为 $m/2$ 的仿射子空间。我们得到了 $|\widehat{\mathcal{M}}_{m}|$ 的显式公式和 $|\widehat{\mathcal{M}}_{m}^{\#}|$ 的上界。同时证明了 $|\mathcal{M}_{m}^{\#}|$ 的渐近紧界，例如 $|\mathcal{M}_{8}^{\#}| \approx 2^{77.865}$。此外，还研究了 $\mathcal{M}_{m}$ 和 $\mathcal{M}_{m}^{\#}$ 的度量性质。我们找到了距离集合 $\mathcal{M}_{m}$ 最近的 bent 函数的总数，并给出了 $\mathcal{M}_{m}^{\#}$ 对应数量的上界。计算了 $\mathbb{F}_{2}^{m}$ 中 $m/2$ 维仿射子空间的平均数量 $E(\mathcal{M}_{m})$，使得 $\mathcal{M}_{m}$ 中的函数在其每一个子空间上都是仿射的。我们得出，类似定义的 $E(\mathcal{M}_{m}^{\#})$ 满足 $E(\mathcal{M}_{m}^{\#}) < E(\mathcal{M}_{m})$ 且 $E(\mathcal{M}_{m}^{\#}) = E(\mathcal{M}_{m}) - o(1)$。