具有最大数量弯曲分量之 (n,m)-函数的构造与性质

对于任意满足 $m\geq k$ 的正整数 $n=2k$ 与 $m$，本文证明任意 $(n,m)$-函数的最大弯曲分量数为 $2^{m}-2^{m-k}$，且达到该等式的函数其代数次数至多为 $k$。易见所有形如 $G(x)=(F(x),0)$（其中 $F(x)$ 为任意向量弯曲 $(n,k)$-函数）的 $(n,m)$-函数均具有最大弯曲分量数。此类简单函数 $G$ 在本文中称为平凡函数。我们证明对于幂 $(n,n)$-函数，其具有如此多弯曲分量当且仅当在温和条件下其为平凡的。我们还考虑了形如 $F^{i}(x)=x^{2^{i}}h({\rm Tr}^{n}_{e}(x))$ 的 $(n,n)$-函数，其中 $h: \mathbb{F}_{2^{e}} \rightarrow \mathbb{F}_{2^{e}}$，并证明 $F^{i}$ 具有如此多分量当且仅当 $e=k$，且 $h$ 是 $\mathbb{F}_{2^{k}}$ 上的置换。这证明了所有先前已知的非平凡此类函数均为函数 $F^{i}$ 的子类。基于 Maiorana-McFarland 类，我们给出了任意整数 $m$ 下具有最大弯曲分量数的大量 $(n,m)$-函数的二元表示构造。我们还确定了所构造函数的差分谱与 Walsh 谱。研究发现我们的构造也能提供新的 plateaued 向量函数。