几乎 Maiorana-McFarland 型 Bent 函数

本文研究定义在 $\mathbb{F}_2^{2m}$ 上形如 $f(x,y) = x \cdot \phi(y) + h(y)$ 的 Bent 函数，其中 $x \in \mathbb{F}_2^{m-1}$，$y \in \mathbb{F}_2^{m+1}$，这类函数构成广义 Maiorana-McFarland 类（记为 ${GMM}_{m+1}$），并被称为几乎 Maiorana-McFarland 型 Bent 函数。我们给出了此类函数 Bent 性质的完整刻画，并确定了它们的对偶。具体而言，我们证明 $f$ 是 Bent 函数当且仅当映射 $\phi$ 将 $\mathbb{F}_2^{m+1}$ 划分为二维仿射子空间，且在每个子空间上函数 $h$ 具有奇重量。我们研究了映射 $\phi \colon \mathbb{F}_2^{m+1} \to \mathbb{F}_2^{m-1}$ 的哪些性质会导致形如 $f(x,y) = x \cdot \phi(y) + h(y)$ 的函数在 ${M}^\#$ 内部和外部均为 Bent 函数，并给出了在 $\mathbb{F}_2^{m+1}$ 上构造合适布尔函数 $h$ 的方法。我们提出了一个简单算法，用于构造向量空间 $\mathbb{F}_2^{m+1}$ 的划分以及相应的布尔函数 $h$，从而生成 ${M}^\#$ 外部的 Bent 函数。当 $2m = 8$ 时，我们明确找出了许多此类划分，它们至少产生 $2^{78}$ 个属于 $\mathbb{F}_2^8$ 上但不属于 ${M}^\#$ 的不同 Bent 函数，从而生成的 ${M}^\#$ 外部 Bent 函数数量超过了 ${M}^\#$ 中 8 变量 Bent 函数的总数。此外，我们证明了将四个 ${M}^\#$ 外部的几乎 Maiorana-McFarland 型 Bent 函数进行级联，可以得到一个属于 ${M}^\#$ 的 Bent 函数。这一发现回答了 Kudin 等人近期提出的一个公开问题（IEEE Trans. Inf. Theory 71(5): 3999-4011, 2025）。反之，采用类似方法将四个各自属于 ${M}^\#$ 的函数进行级联，我们生成了可证明属于 ${M}^\#$ 外部的 Bent 函数。