广义弯曲函数的完全刻画：作为（半）弯曲空间、其对偶及Gray像

与许多近期文章研究特定小值$q\in \{4,8,16 \}$的广义弯曲（gbent）函数$f:\mathbb{Z}_2^n \rightarrow \mathbb{Z}_q$不同，我们给出对于$n$为偶数和奇数、以及任意$q=2^k$的这些函数的完整描述，以它们的分量函数需要满足的必要和充分条件的形式。这使我们能够将gbent函数完全刻画为代数对象，即具有有趣附加性质的弯曲或半弯曲函数的仿射空间，我们对其进行了详细描述。我们还给出了$q=2^k$时gbent函数的对偶和Gray像。我们讨论了对应于相对差集的gbent函数子类，称之为$\mathbb{Z}_q$-bent函数，并指出它们对应于一类向量弯曲函数。$\mathbb{Z}_q$-bent的性质远比gbent函数的标准概念更强。我们分析了该类函数的两个例子。