关于具有最多弯曲分量的向量函数

本文研究具有最多弯曲分量的向量函数。我们首先研究 $F(x)=x^{2^e}h(\Tr_{2^{2m}/2^m}(x))$ 的 Walsh 变换与非线性度，其中 $e\geq0$ 且 $h(x)$ 是 $\F_{2^m}$ 上的置换。若 $h(x)$ 为单项式，则证明 $F(x)$ 的非线性度至多为 $2^{2m-1}-2^{\lfloor\frac{3m}{2}\rfloor}$，并找到了一些达到该上界的非 plateaued 与 plateaued 函数。这给出了 Pott 等人及 Anbar 等人所提开放问题的部分回答。若 $h(x)$ 为线性，则确定了 $F(x)$ 的精确非线性度。其次，我们从已知向量函数出发给出一类具有最多弯曲分量的向量函数构造，从而由 Niho 类与 Maiorana-McFarland 类得到两类新函数。我们的构造部分回答了 Pott 等人提出的开放问题，并且也包含不属于完全 Maiorana-McFarland 类的向量函数。最后，我们证明向量函数 $F: \F_{2^{2m}}\rightarrow \F_{2^{2m}}$、$x\mapsto x^{2^m+1}+x^{2^i+1}$ 具有最多弯曲分量当且仅当 $i=0$。