满足对偶弯曲条件的弯曲函数与具有 $(\mathcal{A}_m)$ 性质的置换

四个布尔弯曲函数 $f=f_1||f_2||f_3||f_4$ 的级联是弯曲的，当且仅当满足对偶弯曲条件 $f_1^* + f_2^* + f_3^* + f_4^* =1$。然而，具体给出满足该对偶条件的四个弯曲函数通常是一项相当困难的任务。通常，为简化此问题，会假设 $f_i$ 之间的某些联系，并考虑特殊形式的函数 $f_i$，例如 $f_i(x,y)=x\cdot\pi_i(y)+h_i(y)$ 是 Maiorana-McFarland 弯曲函数。在 $\mathbb{F}_2^m$ 的置换 $\pi_i$ 具有 $(\mathcal{A}_m)$ 性质且 Maiorana-McFarland 弯曲函数 $f_i$ 满足附加条件 $f_1+f_2+f_3+f_4=0$ 的情形下，已知对偶弯曲条件具有相对简单的形式，可显式给出函数 $f_i$。本文将该结果推广到 Maiorana-McFarland 弯曲函数 $f_i$ 满足条件 $f_1(x,y)+f_2(x,y)+f_3(x,y)+f_4(x,y)=s(y)$ 的情形，并给出了由旧置换构造具有 $(\mathcal{A}_m)$ 性质的新置换的方法。结合这两个结果，我们获得了满足对偶弯曲条件的弯曲函数的递归构造方法。此外，我们给出了源于具有 $(\mathcal{A}_m)$ 性质的 $\mathbb{F}_2^m$ 置换的 Maiorana-McFarland 弯曲函数的一个一般条件，使得它们的级联在等价意义下不属于 Maiorana-McFarland 类。利用具有 $(\mathcal{A}_m)$ 性质的 $\mathbb{F}_{2^m}$ 单项置换 $\pi_i$ 和 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上的单项函数 $h_i$，我们给出了此类弯曲函数的显式构造。最后，借助我们的构造方法，我们说明了如何构造齐次三次弯曲函数，注意到目前已知此类对象的构造方法极少。