曲平展、外微分系统与守恒律

设 $\sigma$ 为实半单李群 $U$ 的一个对合，$U_0$ 为被 $\sigma$ 固定的子群，$U/U_0$ 为相应的对称空间。Ferus 与 Pedit 称秩为 $r$ 的对称空间 $U/U_0$ 的子流形 $M$ 为{\it 曲平展}(curved flat)，若对每个 $p\in M$，$T_pM$ 在 $p$ 处与 $U/U_0$ 的一个 $r$ 维平展相切。他们指出曲平展方程是一个可积系统。Bryant 利用对合 $\sigma$ 构造了一个对合外微分系统 $\ci_\sigma$，使得 $\ci_\sigma$ 的积分子流形即为曲平展。Terng 利用 $U/U_0$-交换孤子方程族中的 $r$ 个首发流构造了 $U/U_0$-系统。她证明了 $U/U_0$-系统与曲平展系统规范等价，利用逆散射理论全局求解了具有光滑快速衰减初值数据的柯西问题，利用环群分解构造了无穷多族显式解，并指出这些系统中的许多作为空间形式中子流形的高斯-科达齐方程出现。本文的主要目标是：(i) 综述这些已知结果，(ii) 利用孤子理论的技术为外微分系统 $\ci_\sigma$ 构造无穷多个积分子流形与守恒律。