Yang-Mills-膨胀子演化方程耦合系统中的自相似性与奇点形成

我们在 3+1 维闵可夫斯基时空中，对球对称 SU(2) Yang-Mills-膨胀子方程的耦合系统进行了解析和数值研究。发现该系统具有隐藏的尺度不变性，如果对膨胀子场采用特殊的 ansatz，这种不变性就会变得明显。这种选择对应于在 $\ln r-t$ 平面中以特定角度旋转到某个坐标系。我们找到了一个无限可数的自相似解族，可以用 $N$（相关 Yang-Mills 函数的零点数）来参数化。根据所进行的线性扰动分析，只有 N=0 的最低解是稳定的。我们在一系列广泛的光滑有限能量初始数据下数值求解了柯西问题。发现如果初始数据超过某个阈值，在收缩到原点的紧致区域中，所得解会达到最低的 N=0 稳定自相似轮廓，该轮廓可视为柯西问题中的全局稳定吸引子。解在自相似状态下存在有限时间，然后原点处 YM 函数二阶导数的无界增长表明奇点的形成，这与超临界系统的一般预期一致。