自对偶 Chern-Simons-Schrödinger 方程的伪共形爆破解：存在性、唯一性与不稳定性

我们考虑自对偶 Chern-Simons-Schrödinger 方程（CSS）。CSS 是 $L^{2}$-临界的，允许孤子存在，并具有伪共形对称性。本工作中，我们考虑 $m$-等变（$m\geq1$）下的伪共形爆破解。我们的结果有三方面。首先，我们构造了具有给定渐近轮廓 $z^{\ast}$ 的伪共形爆破解 $u$：$$\Big[u(t,r)-\frac{1}{|t|}Q\Big(\frac{r}{|t|}\Big)e^{-i\frac{r^{2}}{4|t|}}\Big]e^{im\theta}\to z^{\ast}\qquad\text{in }H^{1}$$ 当 $t\to0^{-}$ 时成立，其中 $Q(r)e^{im\theta}$ 是静态解。其次，我们证明此类爆破解在适当类中唯一。最后，我们展示了 $u$ 的一种不稳定性机制。我们构造连续解族 $u^{(\eta)}$，$0\leq\eta\ll1$，使得 $u^{(0)}=u$，且对 $\eta>0$，$u^{(\eta)}$ 是整体散射解，并在 $\eta\to0^{+}$ 时呈现旋转不稳定性：$u^{(\eta)}$ 在时间区间 $|t|\lesssim\eta$ 上发生角度为 $$\Big(\frac{m+1}{m}\Big)\pi$$ 的突变空间旋转。我们受 $L^{2}$-临界 NLS 相关工作的启发。在 Bourgain 与 Wang（1997）的开创性工作中，他们构造了此类伪共形爆破解。Merle、Raphaël 与 Szeftel（2013）展示了 Bourgain-Wang 解的不稳定性。尽管 CSS 与 NLS 有许多共性，但存在本质差异与超越 NLS 的障碍。略举数例：CSS 的孤子轮廓呈慢衰减 $r^{-(m+2)}$，CSS 具有负责强长程相互作用的非局部非线性，且 CSS 的不稳定性机制与 NLS 完全不同。此处，相位旋转是不稳定性的主要来源。另一方面，CSS 的自对偶结构是我们克服这些障碍的依托。我们在线性化、谱性质及修正轮廓构造等诸多方面利用了自对偶性。