Bourgain-Wang解的$L^2$临界NLS的不稳定性

我们考虑二维$L^2$临界非线性薛定谔方程$i\pa_tu+\Delta u+u|u|^2=0$。在开创性工作\cite{BW}中，Bourgain和Wang构造了在有限时间$T<+\infty$内爆破的光滑解，其具有伪共形速度$$\|\nabla u(t)\|_{L^2}\sim \frac{1}{T-t},$$并且在爆破时刻解的正则部分和奇异部分之间表现出某种解耦。我们证明这种动力学是不稳定的。更精确地说，我们证明任何具有小超临界$L^2$质量的此类解都位于两个$H^1$开集的边界上：一个是向前和向后散射的全局解，另一个是在右侧以\cite{MR1}、\cite{MR4}、\cite{R1}中展示的对数-对数机制下有限时间爆破的解。此外，我们展示了爆破时间后散射解的一些延拓性质，并恢复了在临界质量情况下首次在\cite{Mcpam}中展示的混沌相位行为。