Enriques 曲面上的曲线计数与 Klemm-Mariño 公式

我们确定了局部 Enriques 曲面在所有亏格与曲线类下的 Gromov-Witten 不变量，并证明了 Klemm-Mariño 公式。特别地，我们证明了 Enriques 曲面的亏格 $1$ 不变量生成级数是 Enriques 曲面模空间上某个 Borcherds 自守形式幂的傅里叶展开。我们还确定了 Enriques 曲面的所有 Vafa-Witten 不变量。证明使用了 Gromov-Witten 理论与 Pandharipande-Thomas 理论之间的对应。在 Gromov-Witten 一侧，我们证明了椭圆 Enriques 曲面的相对 Gromov-Witten 势是拟雅可比形式并满足全纯反常方程。在层一侧，我们通过局部 K3 曲面的 Toda 公式的一个版本，将纤维类中 Enriques-Calabi-Yau 三维流的 Pandharipande-Thomas 不变量与 $2$ 维 Donaldson-Thomas 不变量相联系。综上，我们获得了充分的模约束，以从基本几何计算确定所有不变量。