$\mathrm{K3} \times \mathbb{P}^1$ 的 Gromov-Witten 理论与拟雅可比形式

设 $S$ 为具有本原曲线类 $\beta$ 的 K3 曲面。我们求解了 $S \times \mathbb{P}^1$ 在类 $(\beta,1)$ 和 $(\beta,2)$ 中的相对 Gromov-Witten 理论。生成级数是拟雅可比形式，并等于 $S$ 的点的 Hilbert 概型上亏格 $0$ Gromov-Witten 不变量的相应级数。这证明了 Pandharipande 和作者猜想的一个特例。本文的新几何输入是 Ciliberto 和 Knutsen 证明的 K3 曲面上超椭圆曲线的亏格界。通过利用各种形式性质，我们发现一个关键生成级数由最前几个系数决定。设 $E$ 为椭圆曲线。作为我们计算的推论，我们证明 $S \times E$ 在类 $(\beta,1)$ 和 $(\beta,2)$ 中的 Gromov-Witten 不变量是 Igusa 尖点形式的倒数的系数。我们还计算了到 K3 曲面的稳定映射的模空间上的若干线性 Hodge 积分，以及阿贝尔三维簇在 $(1,1,d)$ 型类中的 Gromov-Witten 不变量。