K3 x E 上的曲线计数、Igusa 尖点形式 chi_{10} 与后代积分

设 S 为非奇异射影 K3 曲面。受 S 的点 Hilbert 方案的 Gromov-Witten 理论研究的启发，我们猜想了一个关于 Calabi-Yau 3-折 S x E（其中 E 为椭圆曲线）的 Gromov-Witten 理论（在所有曲线类中）的公式。在本原情形下，我们的猜想用 Igusa 尖点形式 chi_{10} 表示，并与 Katz、Klemm 和 Vafa 通过异弦对偶给出的预测相吻合。在非本原情形下，我们的猜想暗示了 K3 曲面后代积分完整理论的新结构。通过 Gromov-Witten/对偶对应，还提出了关于 S x E 的约化稳定对理论的一个猜想。并对 S x E 的动机稳定对理论进行了推测。S 的点 Hilbert 方案的约化 Gromov-Witten 理论比 S x E 丰富得多。Hilb(S,d) 的双点函数决定了一个矩阵，其迹等于 S x E 的配分函数。文中给出了该完整矩阵的一个猜想形式。