修正Benjamin-Ono方程的最小质量爆破解的构造

我们构造了修正Benjamin-Ono方程（mBO）$$u_{t}+(u^3-D^1 u)_{x}=0,$$ 的一个最小质量爆破解，这是一个标准的质量临界色散模型。令 $Q\in H^{\frac 12}$, $Q>0$, 为 $D^1 Q +Q=Q^3$ 的唯一基态解，由 Weinstein (Comm. PDE, 12 (1987), J. Diff. Eq., 69 (1987)) 和 Albert, Bona and Saut (Proc. Royal London Soc., 453 (1997)) 使用变分论证构造，其唯一性最近由 Frank and Lenzmann (Acta Math., 210 (2013)) 证明。我们展示存在 (mBO) 的一个解 $S$ 满足 $\|S \|_{L^2}=\|Q\|_{L^2}$ 且 $$S(t)-\frac1{\lambda^{\frac12}(t)} Q\left(\frac{\cdot - x(t)}{\lambda(t)}\right)\to 0\quad \mbox{ in }\ H^{\frac 12}(\mathbb R) \mbox{ as }\ t\downarrow 0,$$ 其中 $$\lambda(t)\sim t,\quad x(t) \sim -|\ln t| \quad \hbox{and}\quad \|S(t)\|_{\dot H^{\frac 12}} \sim t^{-\frac 12}\|Q\|_{\dot H^{\frac 12}} \quad \hbox{as}\ t\downarrow 0.$$ 该存在性结果类似于 Martel, Merle and Rapha"el (J. Eur. Math. Soc., 17 (2015)) 对质量临界广义 Korteweg-de Vries 方程所获得的结果。然而，与 (gKdV) 方程相比，对于该方程爆裂问题在基态邻域内现已很好理解，S 是 (mBO) 的第一个爆裂解例子。证明涉及爆破轮廓的构造、能量估计以及由 Kenig, Martel and Robbiano (Ann. Inst. H. Poincar\'e, Anal. Non Lin., 28 (2011)) 在 Benjamin-Ono 型方程背景下发展的精细局部化论证。由于缺乏对基态周围 (mBO) 流的信息，本文中能量估计必须被显著锐化。