$\rm{M}_{g,n}$ 的完全子簇与一个提升问题

寻找光滑 $n$ 点标记亏格 $g$ 曲线模空间中完全子簇的最大维数是一个长期未决的开放问题。这里我们证明对于 $g\ge 3\cdot 2^{d-1}$，若基域的特征大于 $2$，则 $\rm{M}_g$ 包含维数为 $d$ 的完全子簇。此外，在正特征下，我们对 $g\ge 3$ 和 $n\ge 1$ 在 $\rm{M}_{g,n}$ 中构造了一个包含一般点的完全曲面。这些结果源于此处引入的提升猜想的证明。特别地，我们将完全子簇的存在性转化为 $\rm{M}_{g,n}$ 上线丛的性质。我们的方法重构了 Zaal 的思路，并通过 Keel 关于正特征下半丰射线丛的结果提高了效率。该方法展示了模空间在特征 $0$ 与特征 $p$ 下几何的差异。