关于任意特征下曲线模的刚性

稳定曲线的叠$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$及其粗模空间$\overline{M}_{g,n}$定义在$\mathbb{Z}$上，因此也定义在任何域上。在特征零的代数闭域上，Hacking证明了$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$是刚性的（Kapranov的一个猜想）。Bruno和Mella对于$g=0$，以及第二作者对于$g\geq 1$证明了其自同构群是对称群$S_n$，除非$(g,n)\in\{(0,4),(1,1),(1,2)\}$。上述论文中使用的方法不能推广到正特征。我们证明，在特征$p>0$下，$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$的刚性（与$\mathbb{C}$上相同的例外情况）意味着其自同构群是$S_n$。我们证明，在任何完美域上，$\overline{M}_{0,n}$是刚性的，并由此推出，在任何域上，对于$n\geq 5$，$Aut(\overline{M}_{0,n})\cong S_{n}$。回到特征零，我们证明对于$g+n>4$，粗模空间$\overline M_{g,n}$是刚性的，这推广了Hacking的结果，他证明了它没有局部平凡形变。最后，我们通过显式计算其Kuranishi族，证明$\overline{M}_{1,2}$不是刚性的，尽管它没有局部平凡形变。